PG(2, q)

とある、点の集合

関連

一般化→PG(k-1, q)

性質

点の個数 = lineの本数 = $ \theta_2 = $ q^2+q+1

異なる2点$ P,Qを通るlineは1本のみ

このlineを$ \lang P,Q\rangと表す

異なるline$ l,l'は1点で交わる

各lineは$ q+1個の点を含む

各点は$ q+1本のlineに含まれる

任意の2点の間には必ず1本のlineがある

即ち、ある1点から、他のどの1点にも、1本のlineでいける

補足

$ \theta_j=q^j+q^{j-1}+\cdots+q+1

定理19.3

$ [n,3,d]_q 符号$ Cの生成行列$ Gで定義された重複度$ mに対して以下が成り立つ

$ n=\sum_{P\in\mathrm{PG}(2,q)}m(P)

各点の重複度の総和が$ nに等しい

$ d=n-\max\{m(l)|l: \mathrm{line} \;\mathrm{in} \;\mathrm{PG}(2,q)\}

変形すると、

各lineの重複度は$ m(l)\le n-d

PG(2,q)が具体的に与えられた状態で、どうやって全ての点の座標を求める？？

生成行列があったら求められるの？